Senin, 27 Mei 2013

Osilator harmonik



2.3 Osilator Harmonik

Paradigma dari osilator harmonik klasik adalah sebuah benda dengan massa m, yang dipaksa untuk bergetar dengan gaya F dan kontanta k. Gerakannya diatur oleh hukum Hooke:
F = - k x = m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}
(tentunya dengan mengabaikan gaya friksi) dan solusi umumnya adalah
x \left ( t \right ) = A sin \left ( \omega t \right ) + B cos \left ( \omega t \right )
di mana
(2.36)
\omega \equiv \frac{k}{m}
yang merupakan frekuensi (anguler) osilasi. Energi potensialnya adalah
(2.37)
V \left ( x \right ) =             \frac{1}{2} k x^{2}
merupakan bentuk kurva parabola.
Tentunya, tak ada yang sesempurna seperti pada kasus osilator harmonik sederhana ini. Jika kita membentangkan pegas terlalu panjang, bisa-bisa pegas tersebut akan berhenti bergetar karena sudah melewati titik elastisitasnya dan juga hukum Hooke tidak akan berlaku untuk kasus yang demikian. Tetapi praktisnya, potensial dapat didekati dengan fungsi parabola, di dalam titik tetangga dari titik minimum (Gambar 2.3), Formalnya, jika kita mengekspansi V \left ( x \right ) ke dalam deret Taylor di sekitar titik minimum, maka

Bagilah dengan V \left ( x_{0} \right ) [Kita juga bisa menambah konstanta sembarang pada V \left ( x \right ) selama tidak mengubah gaya], misalkan V \left ( x \right ) \cong \frac{1}{2} V'' \left ( x_{0} \right ) \left ( x - x_{0} \right )^{2}
yang menggambarkan gerak oslilasi selaras sederhana (di sekitar titik x0), dengan konstanta pegas efetif k=V'' \left ( x_{0} \right ) [10]. Inilah kenapa oslilator selaras sederhana menjadi sangat penting dalam mekanika kuantum, secara kasat mata gerak osilator adalah selaras sederhana selama nilai amplitudonya kecil.
Gambar 2.3: Pendekatan parabolik (kurva putus-putus) pada potensial sembarang, di antara titik minimum.
Permasalahan kuantum kali ini adalah menyelesaikan persamaan Shroedinger untuk potensial:
(2.38)
V \left ( x \right ) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}
Seperti yang telah kita lihat, tujuan kita adalah menyelesaikan persamaan Shroedinger tidak bergantung waktu.
(2.39)
- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \psi = E \psi
Pada kebanyakan literatur, kita akan menjumpai dua pendekatan berbeda untuk permasalahan seperti ini. Yang pertama adalah solusi dengan penekanan langsung pada persamaan diferensial menggunakan metode “ekspansi power series”, cara ini sangat baik karena dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai potensial lain(misalnya potensial coulomb, tetapi akan kita bahas dalam BAB 4). Yang kedua adalah menggunakan teknik aljabar, dengan menggunakan metode yang dikenal dengan nama “ladder operator“. Tetapi kita akan membahas dulu metode aljabar, karena lebih cepat dan sederhana (juga lebih menarik), tetapi jika kamu ingin melewatinya sekarang silahkan, tetapi saya sarankan untuk mempelajarinya lain waktu

2.3.1 Metode Aljabar

Untuk memulainya, marilah kita tulis ulang persamaan 2.39 dengan bentuk yang sedikit berbeda
(2.40)

Idenya adalah faktor dari bentuk yang ada di dalam tanda kurung kotak, jika kita ganti dengan simbol, maka akan kelihatan lebih familiar
u^{2} + v ^{2} = \left( u - iv \right ) \left ( u + iv \right )
Di sini, bagaimanapun juga, solusinya tidak sesederhana yang kita bayangkan, karena u dan v adalah operator, dan operator tidak bersifat komut (uv tidak sama dengan vu). Tetapi ada baiknya kita lihat dulu ekspresi di bawah ini:
(2.41)
a_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2m}} \left ( \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} \pm i m \omega x \right )
Apakah produk dari a_{-} a_{+} ? Catatan: operator bisa dengan mudah bekerja dengan variabel abstrak,dan kita akan mendapatkan kesalahan terkecil dengan memberikan “fungsi coba”, f \left ( x \right ) . Pada akhirnya kita bisa mengabaikan fungsi coba dan kita bisa mengambil operatornya saja.

(Kita menggunakan d \left ( x f \right ) / dx = x \left ( df / dx \right ) + f pada langkah yang terakhir.) Dengan menghilangkn fungsi coba kita dapatkan:
(2.42)

Jelas sekali bahwa persamaan 2.40 tidak difaktorkak dengan sempurna, karena terdapat ektra \frac{1}{2} \hbar \omega , tetapi jika kita memindahkan ekstra tersebut ke bagian kiri pada persamaan 2.42, persamaan Shroedinger akan menjadi:
\left ( a_{-} a_{+} - \frac{1}{2} \hbar \omega \right ) \psi = E \psi
Ingat bahwa penempatan fator a_{-} dan a_{+} mejadi sangat penting, dengan cara yang sama apabila kita menempatkan a_{+} di sebelah a_{-} , akan dihasilkan
(2.44)

dengan demikian
(2.45)
a_{-} a_{+} - a_{+} a_{-} = \hbar \omega
persamaan Shroedinger dapat juga dituliskan
(2.46)
\left ( a_{+} a_{-} + \frac{1}{2} \hbar \omega \right ) \psi = E \psi
Sekarang, di sini terdapat beberapa langkah krusial.Saya menganggap bahwa jika kita mengoperasikan \psi pada persamaan Shroedinger kita akan mendapatkan energi E, tetapi apabila kita mengoperasikan a_{+} \psi pada persamaan Shroedinger, maka kita akan mendapatkan energi E + \hbar \omega . Bukti:

dengan cara yang sama, a_{-} \psi adalah solusi dengan energi \left ( E - \hbar \omega \right )

Di sini, kita telah menemukan suatu operator baru yang dapat memberikan solusi atas permasalahan di atas, yang berkaitan dengan perubahan tingkat energi, energi lebih tinggi ataupun lebih rendah, kita namakan operator a_{\pm} dengan “ladder operator” (operator tangga) karena dapat mengijinkan untuk berpindah level energi, sementara operator a_{+} kita namakan dengan “raising operator” dan a_{-} di sebut dengan “lowering operator“. Gambaran kerja dari ladder operator ini bisa dilihat dalam gambar 2.4.
Gambar 2.4: Tangga keadaan stasioner untuk osiltor selaras sederhana
Tetapi tunggu dulu, bagaimana jika kita mengoperasikan lowering operator berulang-ulang?Logikanya, pasti pada suatu saat kita akan mendapatkan nilai energi yang berada di bawah nol, dan ini tidak diijinkan dalam mekanika kuantum (hal ini telah kita bahas dalam BAB 1). Oleh karena itu harus ada suatu alat baru yang membatasi agar lowering operator tidak berlaku lagi apabila keadaan energi sudah berada pada level terendah (katakanlah bernilai nol). Bagaimana ini bisa terjadi? Selama ini kita tahu bahwa a_{-} \psi adalah solusi baru dari persamaan Shroedinger, tetapi tidak ada yang bisa menjamin kalau solusi ini masih tetap ternormalisasi, mungkin akan nol, atau mungkin nilai akanya menjadi tak terhingga. Solusi dari ini semua adalah harus ada tangga keadaan terbawah (mari kita namakan ini dengan \psi_{0} ), maka dari itu
(2.47)
a_{-} \psi_{0} = 0
yang berarti
\frac{1}{\sqrt{2m}} \left ( \frac{\hbar}{i} \frac{d \psi_{0}}{dx} - i m \omega x \psi_{0} \right ) = 0
atau
\frac{d \psi_{0}}{dx} = - \frac{m \omega}{\hbar} x \psi_{0}
di mana persamaan diferensial ini cukup mudah untuk kita selesikan
\int d \psi_{0} = - \frac{m \omega}{\hbar} \int x dx \rightarrow ln \psi_{0} = - \frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2} + \text{konstanta}
maka
(2.48)
\psi_{0} = A_{0} e^{- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}}
Untuk mendapatan energi pada keadaan ini, kita masukkan fungsi gelombang keadaan terendah \psi_{0} ke dalam persamaan Shroedinger (dalam bentuk persamaan 2.46) \left ( a_{+} a_{-} + \frac{1}{2} \hbar \omega \right ) \psi_{0} = E_{0} \psi_{0} , karena a_{0} \psi_{0} = 0 maka akan kita dapatkan
(2.49)
E_{0} = \frac{1}{2} \hbar \omega
Dengan ini, kita akan mendapatkan keadaan diatasnya[12] hanya dengan memanfaatkan raising operator untuk mendapatkan keadaan tereksitasi[13].
(2.50)
\psi_{n} \left ( x \right ) = A_{n} \left ( a_{+} \right )^{n} e^{- \frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}} dengan E_{n} = \left ( n \frac{1}{2} \right ) \hbar \omega
Metode ini juga secara tidak langsung menghitung faktor normalisasi A_{n} misalnya
(2.51)

Saya tidak berharap untuk menghitung \psi_{50} dengan cara seperti ini, tetapi pada intinya kita sudah mengetahui bagaimana menentukan keadaan dan energinya dengan cara yang seperti ini.

2.3.2 Metode Analitik

Sekarang kita kembali pada persamaan Shroedinger untuk osilator harmonik (Persamaan 2.39):
- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \psi = E \psi .
Ini akan kelihatan lebih sederhana dan jelas jika kita mengenalkan variabel tak berdimensi
[2.55]
\xi \equiv \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x ;
dalam bentuk \xi menjadi
[2.56]
\frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} = (\xi^{2} - K) \psi
di mana K adalah energi dalam satuan (1/2) \hbar \omega :
[2.57]
K \equiv \frac{2E}{\hbar \omega} .
Permasalahan kita adalah untuk menyelesaikan persamaan 2.56 dan dalam prosesnya untuk mendapatkan nilai K yang “diijinkan” (tentunya juga E).
Untuk memulainya, ingat bahwa untuk \xi yang sangat besar (yang juga dapat dikatakan, pada nilai x yang sangat besar), \xi^{2} menjadi sangat dominan dari pada kontanta K, maka persamaan 2.56 bisa dreduksi menjadi
[2.58]
\frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} \approx \xi^{2} \psi ,
yang mempunyai solusi taksiran (jika kamu berminat silahkan buktikan!)
[2.59]
\psi (\xi) \approx Ae^{-\xi^{2}/2} + Be^{+\xi^{2}/2}
Kontanta B jelas sekali tidak ternormalisasi (karena nilainya akan menjadi tak terhingga pada |x| \rightarrow \infty ; solusi yang dapat diterima secara fisika, adalah pada bagian yang pertama dan memiliki bentuk yang asimtotik)
[2.60]
\psi(\xi) \rightarrow (\;)e^{-\xi^{2}/2} , pada \xi yang besar.
Ini berkesan kalau kita mengupas habis bagian eksponensial,
[2.61]
\psi(\xi) = h(\xi)e^{-\xi^{2}/2} ,
dengan harapan bahwa apa yang sudah saya tuliskan [h(\xi) ] memiliki bentuk fungsional yang lebih sederhanya dari pada \psi(\xi) itu sendiri.[14]Dengan mendiferensialkan persamaan 2.61 kita dapatkan
\frac{d \psi}{d \xi} = \left ( \frac{dh}{d\xi} - \xi h \right ) e^{-\xi^{2}/2}
dan
,
maka persamaan Shroedinger (Persamaan 2.56) menjadi
[2.62]
\frac{d^{2}h}{d\xi^{2}} - 2\xi \frac{dh}{d\xi} + (K - 1)h = 0 .
Saya menyarankan untuk mencari solusi dari Persamaan 2.62 dalam bentuk deret \xi [15]:
[2.63]
h(\xi) = a_{0} + a_{1} \xi + a_{2} \xi^{2} + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty} a_{j} \xi^{j} .
Kita diferensialkan terhadap \xi kita dapatkan
\frac{dh}{d\xi} = a_{1} + 2a_{2} \xi + 3a_{3} \xi^{2} + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty} ja_{j} \xi^{j-1} ,
dan
.
Kita masukkan ini ke dalam Persamaan 2.62, didapatkan
[2.64]
\sum_{j=0}^{\infty} \left [(j + 1)(j + 2)a_{j+2} - 2ja_{j} + (K - 1)a_{j} \right ] \xi^{j} = 0 .
Ini berarti bahwa (dari keunikan ekspansi deret[16]) koefisien dari masing-masing anggota deret haruslah nol,
(j + 1)(j + 2)a_{j+2} - 2ja_{j} + (K - 1)a_{j} = 0 ,
maka dari itu
[2.65]
a_{j+2} = \frac{(2j + 1 - K)}{(j + 1)(j + 2)}a_{j} .
Formula rekursi ini seluruhnya ekuivalen dengan persamaa Shroedinger itu sendiri. Diberikan a_{0} memungkinkan kita (prinsipnya) untuk membangkitkan a_{2}, a_{4}, a_{6}, \cdots , dan diberikan a_{1} akan membangkitakan a_{3}, a_{5}, a_{7}, \cdots . Sekarang marilah kita tuliskan
[2.66]
h(\xi) = h_{genap} (\xi) + h_{ganjil} (\xi) ,
di mana
h_{genap} (\xi) \equiv a_{0} + a_{2} \xi^{2} + a_{4} \xi^{4} + \cdots
adalah fungsi genap dari \xi , yang dibangun dari a_{0} , dan
h_{ganjil} (\xi) \equiv a_{1} \xi + a_{3} \xi^{3} + a_{5} \xi^{5} + \cdots
adalah fungsi ganjil, yang dibangun dari a_{1} . Dengan demikian Persamaan 2.65 menghasilkan h(\xi) dalam dua bentuk konstanta sembarang (a_{0} dan a_{1} ), yang kita harapkan untuk persamaan diferensial orde dua.
Bagaimanapun, tidak semua solusi yang diperoleh ternormalisasi. Pada j yang sangat besar, formula rekursi menjadi (perkiraan)
a_{j+2} \approx \frac{2}{j} a_{j} ,
dengan solusinya (perkiraan)
a_{j} \approx \frac{C}{(j/2)!} ,
untuk suatu konstanta C, dan ini menghasilkan (pada \xi , di mana deret yang besar yang paling dominan)
h(\xi) = C \sum \frac{1}{(j/2)!} \xi^{j} \approx C \sum \frac{1}{k!} \xi^{2k} \approx C e^{\xi^{2}} .
Sekarang, jika h berbanding lurus dengan exp(\xi^{2}) , maka \psi (Ingat \psi ?, yang kita coba untuk hitung) berbanding lurus dengan exp(\psi^{2}/2) (Persamaan 2.61), yang secara presisi memiliki sifat asimtotik yang tidak kita inginkan.[17] Hanya ada satu cara untuk bisa keluar dari permasalahan yang pelik ini: Untuk solusi ternormalisasi, deret harus berhenti pada suatu titik. Harus ada nilai j “tertinggi” (namakan dengan n) yang membuat formula rekursi tersebut hingga menjadi a_{n+2} = 0 (ini akan memotong salah satu dari dua deret, deret h_{genap} ataukah deret h_{ganjil} , sehingga salah satunya harus bernilai nol dari awal). Solusi fisis dari pernyataan tersebut adalah
K = 2n+1 ,
untuk suatu nilai integer n, yang dikatakan (sesuai dengan Persamaan 2.57) bahwa energi harus dalam bentuk
[2.67]
E_{n} = (n + \frac{1}{2}) \hbar \omega , untuk n = 0, 1, 2, \cdots .
Ini membuktikan, dengan metode yang sama sekali berbeda, kondisi kuantisasi energi yang kita temukan secara alagbar dalam Persamaan 2.50.
Untuk nilai K yang diijinkan, formula rekursi menjadi
[2.68]
a_{j+2} = \frac{-2(n - j)}{(j + 1)(j + 2)} a_{j} .
jika n = 0 , hanya ada satu bentuk dalam deret (kita harus mengambil nilai a_{1} = 0 untuk menghilangkan h_{ganjil} , dan j = 0 dalam Persamaan 2.68 menghasilkan nilai a_{2} = 0 ):
h_{0} (\xi) = a_{0} ,
maka dari itu
\psi_{0} (\xi) = a_{0} e^{\xi^{2}/2}
(yang menghasilkan persamaan 2.48). Untuk n = 1 kita ambil a_{0} = 0 , [18], dan Persamaan 2.68 dengan j = 1 menghasilkan a_{3} = 0 , sehingga
h_{1} = a_{1} \xi ,
maka dari itu
\psi_{1}(\xi) = a_{1} \xi e^{- \xi^{2}/2}
(mengkonfirmasikan Persamaan 2.51). Untuk n = 2 , j = 0 , menghasilkan a_{2} = -2a_{0} dan j = 2 menghasilkan a_{4} = 0 , jadi
h_{2}(\xi) = a_{0}(1 - 2\xi^{2})
dan
\psi_{2}(\xi) = a_{0}(1 - 2\xi^{2})e^{-\xi^{2}/2} ,
dan seterusnya. (Bandingkan dengan Soal 2.13, di mana dengan hasil yang sama telah didapatkan dengan pengertian aljabar.)
Pada prinsipnya, h_{n}(\xi) akan berupa polinomial sudut n dalam \xi , di mana berupa deret genap saja, jika n adalah integer genap, dan berupa deret ganjil saja jika n adalah integer ganjil. Terlepas dari semua ini, sebenarnya deret yang telah kita hitung adalah sebuah deret yang dinamakan dengan Polinomial Hermite, H_{n}(\xi) .[19] Beberapa diantaranya ditampilkan dalam tabel 2.1. Di mana nilai koefisien deret terbesar pangkat tertinggi dari \xi adalah 2^{n} . Dengan faktor konvensi ini, normalisasi[20] keadaan stasioner untuk osilator harmonik adalah
[2.69]
.
Hasil yang sama (tentu saja) telah kita dapatkan sbelumnya secara aljbar dalam Persamaan 2.50. Gambar 2.5a merupakan plot dari \psi_{n}(x) untuk beberapa nilai n yang pertama.
Osilator kuantum jauh berbeda dengan yang klasik, bukan hanya karena energinya yang terkuantisasi, tetapi juga posisi distribusinya yang memiliki keistimewaan. Misalnya, probabilitas untuk menemukan partikel di luar batasan yang diijinkan secara klasik (di mana, dengan x yang lebih besar dari pada amplitudo klasik untuk energi) adalah tidak nol (Lihat Soal 2.15), dan dalam semua keadaan ganjil, probailitas untuk menemukan partikel pada pusat dinding potensial adalah nol. Hanya dengan n yang relatif besar kita akan menemui beberapa kemiripan dengan kasus klasik. Dalam Gambar 2.5b saya telah menambahkan distribusi posisi klasik pada plot osilator kuantum (untuk n = 100); tampak bahwa antara kasus klasik dengan kasus kuantum terdapat kemiripan(walaupun dalam kasus klasik yang kita bicarakan adalah mengenai distribusi posisi pada setiap waktu untuk satu kali osilasi saja, sedangkan pada kasus kuantum kita berbicara mengenai distribusi pada satu set sistem yang identik).[21]

Soal 2.15 Pada keadaan terendah dari osilator harmonik, berapakah probabilitas (sampai ketelitian 3 angka) untuk menemukan partikel di luar batasan yang diijinkan secara klasik? Petunjuk: Lihatlah tabel matatika pada “Distribusi Normal” atau “Fungsi Error”.

Soal 2.16 Gunakan formula rekursi (Persamaan 2.68) untuk menghitung H_{5}(\xi) dan H_{6}(\xi) .

Soal 2.17 Sebuah partikel di dalam potensial osilator harmonik memiliki fungsi gelombang mula-mula
\Psi(x, 0) = A[\psi_{0}(x) + \psi_{1}(x)]
dengan suatu konstanta A.
  1. Normalisasikan \Psi(x, 0) .
  2. Cari \Psi(x, t) dan |\Psi(x, t)|^{2} .
  3. Cari nilai ekspektasi x sebagai fungsi waktu. Ingat bahwa gerakannya adalah terosilasi secara sinusoidal. Berapakah amplitudo osilasinya? Berapakah Frekuensi angulernya?
  4. Gunakan hasil pada (3) untuk menghitung nilai ekpektasi momentum. Periksa bahwa theorema Ehrenfest sesuai dengan fungsi gelombang ini.
  5. Berdasaarkan Gambar 2.5, sketsakan grafik |\Psi| pada t = 0, \pi/\omega, 2\pi/\omega, 3\pi/\omega dan 4\pi/\omega . (Grafiknya jangan terlalu detil, hanya sketsa kasar saja untuk menunjukkan osilasinya.)

Soal 2.18 Pada soal kali ini kita mengeksplorasi beberapa teori yang sangat bermanfaat serta polinomial Hermite.
  1. Formula Rodrigues menyatakan bahwa
[2.70]
H_{n}(\xi) = (-1)^{n} e^{\xi^{2}} (\frac{d}{d\xi})^{n} e^{\xi^{2}} ,
Gunakanlah untuk mendapatkan H_{3} dan H_{4} .
  1. Rekursi di bawah ini memberikan nilai H_{n+1} dalam bentuk dua polinomial Hermite:
[2.71]
H_{n+1}(\xi) = 2\xi H_{n}(\xi) - 2_{n}H_{n-1}(\xi) .
Gunakanlah secara bersama-sama dengan hasil pada no. 1 untuk menghitung nilai H_{5} dan H_{6} .
  1. Jika kamu mendiferensialkan plinomial orde ke-n, kamu akan mendapatkan polinomial dengan orede (n – 1). Untuk polinomial Hermita, faktanya,
[2.72]
\frac{dH_{n}}{d\xi} = 2_{n}H_{n-1}(\xi) .
Periksalah kebenarannya dengan mendiferensialkan H_{5} dan H_{6} .
  1. H_{n}(\xi) derivatif z ke-n pada z = 0, dengan membangkitkan fungsi exp(-z^{2} + 2z\xi) , atau dengan cara lain, di mana koefisien dari z^{n}/n! dalam ekspansi deret Taylor untuk fungsi
[2.73]
e^{-z^{2} + 2z\xi} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} H_{n}(\xi) .
Gunakanlah untuk menderivasi ulang H_{0} , H_{1} , dan H_{2} .


[10]Ingat bahwa V'' \left ( x_{0} \right ) \geq 0 , dengan asumsi bahwa x_{0} adalah minimum. Hanya kasus yang jarang terjadi V'' \left ( x_{0} \right ) = 0 osilasi tidak dapat dikatakan sebagai osilasi selaras sederhana.
[11]Saya mulai lelah untuk menuliskan “persamaan Shroedinger tidak bergantung waktu” maka mulai sekarang saya hanya akan menuliskannya denan “persamaan Shroedinger” saja.
[12]Ingat kita hanya bisa menggunakan satu ladder operator saja, karena keadaan terendah telah dijelaskan oleh persamaan 2.47
[13]Pada kasus osilator selaras ini kita mulai suatu keadaan terendah dengan angka 0, jadi untuk perhitungan maka kita akan memulainya dengan n=0
[14]Ingat bahwa walaupun kita melibatkan beberapa perkiraan untuk menyelesaikan persamaan 2.61, tetapi apa yang telah kita lakukan adalah solusi eksak yang sudah banyak dilakukan. Pemberian bentuk asimtotik pada peramaan 2.60 adalah langkah-langkah standar dalam metode deret untuk menyelesaikan persamaan diferensial, lihat, Boas (catatan kaki 8), BAB 12.
[15]Berdasarkan teorema taylor, Fungsi dengan alasan yang baik dapat diekspresikan sebagai sebuah deret. Kondisi pada pengaplikasian metode deret dapat dilihat pada Boas (catatan kaki 8) atau George Arfken, Mathematical Methods for Physicists, edisi ke-3 (Orlando, FL: Academics Press, 1985), Sesi 8.5.
[16]Lihat Arfken (catatan kaki 15), sesi 5.7.
[17]Ini tidak menjadi aneh bahwa solusi jelek ini masih terdapat dalam persamaan 2.65; relasi rekursi ini ekivalen dengan persamaan Shroedinger, jadi masih dapat dibenarkan untuk memasukkan kedua bentuk asimtotik yang kita temukan ke dalam persamaan 2.59.
[18]Ingat bahwa terdapat set koefisien a_{j} yang sangat berbeda untuk setiap nilai n.
[19]Polinomial Hermite telah dipelajari dalam literatur matematika, dan terdapat alat-alat dan trik matematik untuk mendapatkannya. Beberapa diantaranya dieksplorasi dalam soal 2.18.
[20]Saya berharap untuk tidak menghitung konstanta normalisasi di sini, jika kamu berminat untuk mengetahui bagaimana cara menghitungnya, lihatlah, Leonard Schiff, Quantum Mechanics, edisi ke-3. (New York: McGraw-Hill, 1968), sesi 13.
[21]Analogi ini mungkin bermaksud untuk menginterpretasikan distribusi klasik sebagai sebuah kumpulan osilator dengan energi yang sama tetapi dengan titik permulaan yang acak.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar